刷题路线：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master

大家好，我是被算法题虐到泪流满面的老三，只能靠发发文章给自己打气！

这一节，我们来看看回溯算法。

回溯算法

回溯算法理论基础

什么是回溯

在二叉树的路径问题里，其实我们已经接触到了回溯这种算法。

例如我们在查找二叉树所有路径的时候，查找完一个路径之后，还需要回退，接着找下一个路径。

二叉树所有路径

回溯其实可以说是我们熟悉的DFS，本质上是一种暴力穷举算法，把所有的可能都列举出来，所以回溯并不高效。

这个可能比较抽象，我们举一个例子吧，[1,2,3]三个数可以构成多少种组合呢？

我们的办法就是把所有结果都穷举出来，那怎么穷举呢？可以第一位选1，第二位从[2,3]里选2，第三位从[3]里选3；第二个组合可以第一位选2……

我们把这个选择抽象成一棵树，初步有个印象，这是全排列的问题，后面会刷到。

抽象树

回溯算法模板

回溯算法，可以看作一个树的遍历过程，建议可以去看一下N叉树的遍历，和这个非常类似。

递归有三要素，类似的，回溯同样需要关注三要素：

• 返回值和参数

回溯算法中函数返回值一般为void。

回溯方法的参数得结合实际问题，但是一般需要一个类似栈的结构来存储每个路径（结果），因为我们一次递归结束之后，节点要回溯到上一个位置。

回溯方法伪代码如下：

void backtrack(参数)

• 回溯函数终止条件

和递归一样，回溯同样也要有结束条件。

什么时候达到了终止条件，从树的角度来讲，一般来说搜到叶子节点了，对回溯而言，就是找到了满足条件的一个结果。

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

• 回溯搜索的遍历过程

回溯法一般是在一个序列里做选择，序列的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

回溯函数遍历过程伪代码如下：

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历序列，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。可以理解为横向的遍历。

backtrack就是自己调用自己，可以理解为纵向的遍历。

回溯算法模板

同时递归之后，我们还要撤销之前做的选择。

所以回溯算法模板框架如下：

void backtrack(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtrack(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

回溯能解决哪些问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

可能到这对回溯还比较迷茫，没有关系，回溯是比较套路化的一种算法，多做几道题就明白了。

组合问题

LeetCode77. 组合

☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)

❓ 难度：中等

描述：

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

思路：

这道题是回溯算法的经典题目。

我们来看一下这道题的抽象树形结构：

组合抽象树结构

按照我们的回溯模板，看看这道题应该怎么写：

• 返回值、参数

首先方法里是一定要区间的数据，[start，n]。

计数的k也不可缺少。

最后的结果集合result，还有每条路径的结果path，可以定义全局变量，来提升可读性。

• 终止条件

什么时候终止，就是什么时候到叶子节点了呢？结果parh的大小等于k，说明到了叶子节点，一次递归结束。

• 单层逻辑

在单层逻辑里面，我们要做两件事：

1. 遍历序列
2. 递归，遍历节点

组合单层逻辑

代码：

class Solution {
    //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //符合条件的结果
    LinkedList<Integer> path;

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backstack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backstack(int n, int k, int start) {
        //结束条件
        if (path.size() == k) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i <= n; i++) {
            path.addLast(i);
            //递归
            backstack(n, k, i + 1);
            //回溯,撤销已经处理的节点
            path.removeLast();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

回溯中，提高性能的一大妙招就是剪枝。

剪枝见名知义，就是在把我们的树的一些树枝给它剪掉。

例如n = 4，k = 4，

剪枝优化

我们可以看到，有些路径，其实一定是不满足我们的要求，如果我们把这些不可能的路径剪断，那我们不就可以少遍历一些节点吗？

所以我们看看这道题怎么来剪这个枝：

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索。

1. 已经选择的元素个数：path.size();
2. 还需要的元素个数为: k - path.size();
3. 所以起始位置 : n - (k - path.size()) + 1之后的肯定不符合要求

所以优化之后的代码如下：

class Solution{
      //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //符合条件的结果
    LinkedList<Integer> path;

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backstack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backstack(int n, int k, int start) {
        //结束条件
        if (path.size() == k) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i <= n-(k-path.size())+1; i++) {
            path.addLast(i);
            //递归
            backstack(n, k, i + 1);
            //回溯,撤销已经处理的节点
            path.removeLast();
        }
    }
}

LeetCode216. 组合总和 III

☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)

❓ 难度：中等

描述：

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

• 所有数字都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

思路：

我们先把这道题抽象成树：

抽象树

接着套模板。

• 终止条件

到叶子节点（path大小等于k）终止。

• 返回值，参数

参数稍微有变化，序列是固定的，这里的n是目标和；需要一个参数pathSum来记录路径上的数总和，我们直接全局变量。

• 单层逻辑

逻辑差别不大，回溯的时候需要把pathSum也回溯一下。

代码：

class Solution {
   //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果
    LinkedList<Integer> path;
    //结果综合
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backtrack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backtrack(int n, int k, int start) {
        //结束
        if (path.size() == k) {
            if (pathSum == n) {
                result.add(new LinkedList<>(path));
            }
            return;
        }
        //遍历序列
        for (int i = start; i <= 9; i++) {
            path.push(i);
            pathSum += i;
            //递归
            backtrack(n, k, i + 1);
            //回溯，撤销操作
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

同样也可以进行剪枝优化，也很好想，如果pathNum>n ，那就没必要再遍历了。

class Solution {
   //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果
    LinkedList<Integer> path;
    //结果综合
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backtrack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backtrack(int n, int k, int start) {
        //剪枝优化
        if (pathSum > n) {
            return;
        }
        //结束
        if (path.size() == k) {
            if (pathSum == n) {
                result.add(new LinkedList<>(path));
            }
            return;
        }
        //遍历序列
        for (int i = start; i <= 9; i++) {
            path.push(i);
            pathSum += i;
            //递归
            backtrack(n, k, i + 1);
            //回溯，撤销操作
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

LeetCode39. 组合总和

☕ 题目：39. 组合总和 (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个无重复元素的正整数数组 candidates 和一个正整数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为目标数 target 的唯一组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。如果至少一个所选数字数量不同，则两种组合是唯一的。

对于给定的输入，保证和为 target 的唯一组合数少于 150 个。

示例 1：

输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[7],[2,2,3]]

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

示例 4：

输入: candidates = [1], target = 1
输出: [[1]]

示例 5：

输入: candidates = [1], target = 2
输出: [[1,1]]

提示：

• 1 <= candidates.length <= 30
• 1 <= candidates[i] <= 200
• candidate 中的每个元素都是独一无二的。
• 1 <= target <= 500

思路：

这道题和我们上面的有什么区别呢？

它没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制。

组合总和

这里有两个关键点：

• 元素可以重复使用
• 组合不可重复

我们看看如何通过回溯三要素来carry：

• 返回值&参数

参数里需要start标明起点，为什么呢？因为要求组合不重复，所以需要限制下次搜索的起点，是基于本次选择，这样就不会选到本次选择同层左边的数。

• 终止条件

这道题没有限制数的个数，所以我们要根据pathSum>target（当前组合不满足）和pathSum==target（当前组合满足）来终止递归。

• 单层逻辑

单层仍然从start开始，搜索 candidates。

代码：

class Solution {
   //结果结合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值的和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum > target) return;
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
        }
        for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取
            backtrack(candidates, target, i);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

又到了剪枝优化时间，在本层循环，如果发现下一层的pathSum（本层pathSum+candidates[i]）,那么就可以结束本层循环，注意要先把candidates拍一下序。

class Solution {
    //结果结合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值的和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        //剪枝优化，先排序
        Arrays.sort(candidates);
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum > target) return;
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
        }
       //剪枝优化，判断循环之后的pathSum是否会超过target
        for (int i = start; i < candidates.length && pathSum + candidates[i] <= target; i++) {
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取
            backtrack(candidates, target, i);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

LeetCode40. 组合总和 II

☕ 题目：40. 组合总和 II (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

注意：解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

提示:

• 1 <= candidates.length <= 100
• 1 <= candidates[i] <= 50
• 1 <= target <= 30

思路：

这道题和上一道题有啥区别呢？

• candidates里每个数字在每个组合里只能使用一次
• candidates里的元素是有重复的

所以这道题的关键在于：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。

关于这个去重，有什么思路呢？

• 利用HashSet的特性去重，但是容易超时
• 还有一种办法，先把数组排序[1,3,1] --> [1,1,3]，我们比较一下相邻的元素，重复的就跳过

我们把模拟树画一下：

模拟树

三要素走起：

• 返回值&参数

和上一道基本一致。

• 终止条件
• pathSum>target和pathSum==target。
• 我们这次直接剪枝，提前判断下次pathSum是否大于target，所以pathSum>target可以省略

代码：

class Solution {
      //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值总和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        //排序condidates，去重前提
        Arrays.sort(candidates);
        //初始化相关变量
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        //剪枝操作
        for (int i = start; i < candidates.length && candidates[i] + pathSum <= target; i++) {
            //同一层使用过的元素跳过
            if (i > start && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
                continue;
            }
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //每个数字在每个组合中只能用一次，所以i++
            backtrack(candidates, target, i + 1);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

LeetCode17. 电话号码的字母组合

☕ 题目：17. 电话号码的字母组合(https://leetcode-cn.com/problems/letter-combinations-of-a-phone-number/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

17示例 1：

输入：digits = "23"
输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]

示例 2：

输入：digits = ""
输出：[]

示例 3：

输入：digits = "2"
输出：["a","b","c"]

提示：

• 0 <= digits.length <= 4
• digits[i] 是范围 ['2', '9'] 的一个数字。

思路：

其实扒开表皮，这道题和77.组合本质上是一样。只不过序列和组合个数没有明确给出。

• 序列是什么：digits 映射成的字母序列
• 组合个数：digits的大小

先画抽象树：

电话号码的字母组合

代码：

class Solution {
    //结果集合
    List<String> result;
    //结果
    StringBuilder path;
    //每个路径个数
    int pathNum;
    //映射数组，0，1空出来，方便直接映射
    String[] numsMap = {" ", " ", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};

    public List<String> letterCombinations(String digits) {
        result = new ArrayList<>();
        if (digits == null || digits.length() == 0) {
            return result;
        }
        path = new StringBuilder();
        pathNum = 0;
        backtrack(digits, pathNum);
        return result;
    }

    public void backtrack(String digits, int pathNum) {
        if (pathNum == digits.length()) {
            result.add(path.toString());
            return;
        }
        //获取映射字母
        String letters = numsMap[digits.charAt(pathNum) - '0'];
        for (int i = 0; i < letters.length(); i++) {
            path.append(letters.charAt(i));
            //注意，pathNum+1,要处理下一层
            backtrack(digits, pathNum + 1);
            //回溯
            path.deleteCharAt(path.length() - 1);
        }
    }
}

分割问题

LeetCode131. 分割回文串

☕ 题目：131. 分割回文串 (https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning/)

❓ 难度：中等

描述：

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。

回文串 是正着读和反着读都一样的字符串。

示例 1：

输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]

示例 2：

输入：s = "a"
输出：[["a"]]

提示：

• 1 <= s.length <= 16
• s 仅由小写英文字母组成

思路：

我们写了一些组合问题，现在又是一类新的问题——分割。

但其实，分割问题，也类似组合。

例如对于字符串abcdef：[1]

• 组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中在选组第三个.....。
• 切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中在切割第三段…….

先画一下抽象树：

分割回文串抽象树

回溯三要素：

• 参数

我们需要一个start来标记下一轮递归遍历的起始位置。

• 终止条件

如果start已经超过字符串的长度，那么说明我们path中的组合是回文串。

• 单层逻辑

单层逻辑和之前的逻辑大体类似，不过需要判断一下字符串是否是回文串，这个比较简单。

代码：

class Solution {
     List<List<String>> result;
    LinkedList<String> path;

    public List<List<String>> partition(String s) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backtrack(s, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(String s, int start) {
        //结束条件
        if (start >= s.length()) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i < s.length(); i++) {
            //如果是回文串
            if (isPalidrome(s, start, i)) {
                String r = s.substring(start, i+1);
                path.addLast(r);
            } else {
                continue;
            }
            //起始位置后移
            backtrack(s, i + 1);
            //回溯
            path.removeLast();
        }
    }

    //判断是否回文串
    boolean isPalidrome(String s, int start, int end) {
        for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
            if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

LeetCode93. 复原 IP 地址

☕ 题目：93. 复原 IP 地址 (https://leetcode-cn.com/problems/restore-ip-addresses/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个只包含数字的字符串，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能从 s 获得的 有效 IP 地址 。你可以按任何顺序返回答案。

有效 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 '.' 分隔。

例如："0.1.2.201" 和 "192.168.1.1" 是 有效 IP 地址，但是 "0.011.255.245"、"192.168.1.312" 和 "192.168@1.1" 是 无效 IP 地址。

示例 1：

输入：s = "25525511135"
输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]

示例 2：

输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]

示例 3：

输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]

示例 4：

输入：s = "010010"
输出：["0.10.0.10","0.100.1.0"]

示例 5：

输入：s = "101023"
输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]

提示：

• 0 <= s.length <= 3000
• s 仅由数字组成

思路：

这道题是不是和上一道题类似啊。

我们先把抽象树画一下：

复原ip地址抽象树

分支比较多，偷懒省去了一些分支。

直接上回溯三要素：

• 参数

因为ip为四段构成，所以我们需要一个参数来记录段数，这里用的是剩余的段数residue；

分割问题，需要标记start。

• 终止条件

终止条件是切割到了终点；

但是这道题又有段数的要求，所以还要加入段数的判断。

• 单层

单层里面，除了回溯之类，我们还要判断当前段是否满足构成ip的要求。

代码：

class Solution {
    List<String> res = new ArrayList<>();
    Deque<String> path = new ArrayDeque<>(4);
    int len;

    public List<String> restoreIpAddresses(String s) {
        len = s.length();
        if (len > 12 || len < 4) return res;
        backtrack(s, 0, 4);
        return res;
    }

    /**
     *
     * @param s 字符串
     * @param start 起始位置
     * @param residue 剩余段数
     */
    private void backtrack(String s, int start, int residue) {
        //符合要求
        //字符已经用完，而且为四段
        if (start == len && residue == 0) {
            res.add(String.join(".", path));
            return;
        }
        for (int i = start; i < start + 3; i++) {
            if (i >= len) break;
            //减枝
            if (residue * 3 < len - i) continue;
            //只有符合要求的才加入
            if (isIpSegment(s, start, i)) {
                String currentIpSegment = s.substring(start, i + 1);
                path.addLast(currentIpSegment);
                backtrack(s, i + 1, residue - 1);
                //回溯
                path.removeLast();
            }
        }
    }

    //判断字串是否符合ip要求
    private boolean isIpSegment(String s, int left, int right) {
        //首位0情况
        if (right - left + 1 > 1 && s.charAt(left) == '0') return false;
        //判断对应数字是否满足范围
        int num = 0;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            num = num * 10 + s.charAt(i) - '0';
        }
        return num >= 0 && num <= 255;
    }
}

子集问题

LeetCode78. 子集

☕ 题目：78. 子集 (https://leetcode-cn.com/problems/subsets/)

❓ 难度：中等

描述：

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有元素 互不相同

思路：

这和我们前面做的 77.组合也是类似得。

先画抽象树结构：

子集

还是回溯三要素：

• 参数

组合不重复，所以start标记起点

• 终止条件

把数组所有元素用完，就终止递归，也就是start走到了最后一个位置。

• 单层逻辑

就一点需要注意，需要收集所有得组合。

代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return result;
        }
        backstrck(nums, 0);
        return result;
    }

    public void backstrck(int[] nums, int start) {
        //放在最上面，否则漏掉本次
        result.add(new ArrayList<>(path));
        //终止条件
        if (start >=nums.length) {
            return;
        }
        for (int i = start; i <nums.length; i++) {
            path.addLast(nums[i]);
            backstrck(nums, i + 1);
            //回溯
            path.removeLast();
        }
    }
}

LeetCode90. 子集 II

☕ 题目：90. 子集 II (https://leetcode-cn.com/problems/subsets-ii/)

❓ 难度：中等

描述：

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10

思路：

和上一道题有一点不一样，nums里面有重复的元素，而要保持组合的惟一，我们得想一个去重的办法。

前面的40. 组合总和 II 还记得吗？那道题里序列里同样有重复的元素。

我们是怎么去重的呢？先排序数组，相邻元素重复就跳过。

子集II抽象树

代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            result.add(new ArrayList<>());
            return result;
        }
        //先排序数组
        Arrays.sort(nums);
        backtrack(nums, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] nums, int start) {
        result.add(new ArrayList<>(path));
        //终止条件
        if (start >= nums.length) {
            return;
        }
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            //先判断是否重复
            if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
                continue;
            }
            path.addLast(nums[i]);
            backtrack(nums, i + 1);
            //回溯
            path.removeLast();
        }
    }
}

LeetCode491. 递增子序列

☕ 题目：491. 递增子序列 (https://leetcode-cn.com/problems/increasing-subsequences/)

❓ 难度：中等

描述：

给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。

数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

示例 1：

输入：nums = [4,6,7,7]
输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]

示例 2：

输入：nums = [4,4,3,2,1]
输出：[[4,4]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 15
• -100 <= nums[i] <= 100

思路：

这道题乍一看，递增？直接套90.子集II，当然，肯定是不行的。

注意啊，我们这个整数数组是不能改变次序的，

所以上面我们用排序的方式去重在这里用不上。

那怎么办呢？

我们需要用一个结构来保存每一层用过的元素，来给它去重。

我们可以选择用map来存储用过的元素，来给每一层的循环去重。

递增子序列-抽象树

回溯三要素：

• 参数

组合不重复，需要start。

• 终止条件

遍历完nums。

• 单层逻辑

1. 去重

用map存储一层里用过的元素，选择元素之前，判断元素是否用过。

2 . 递增

每个元素和队尾元素比一下，判断是否满足递增的要求。

代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList();

    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            result.add(new ArrayList<>());
            return result;
        }
        backtrack(nums, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] nums, int start) {
        //使用map辅助去重
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        if (path.size() > 1) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
        }
        if (start >= nums.length) {
            return;
        }
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            //判断当前元素序列是否递增
            if (!path.isEmpty() && path.getLast() > nums[i]) {
                continue;
            }
            //本层循环元素已经用过，去重
            if (map.containsKey(nums[i])) {
                continue;
            }
            path.addLast(nums[i]);
            map.put(nums[i], i);
            backtrack(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

排列问题

LeetCode46. 全排列

☕ 题目：46. 全排列 (https://leetcode-cn.com/problems/permutations/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 6
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有整数 互不相同

思路：

这里注意，我们在每一层去重。

我们之前用过两种方法去重：排序去重、map去重。

这用一个新的办法，用一个boolean数组used标记元素是否被用过。

先画抽象树：

全排列

回溯三部曲：

• 结束条件

path中取到了等于集合得数量.

• 参数

注意啊，因为这里要从头开始搜索，所以就不用start了；

我们去重用的used数组直接定义全局变量；

• 单层逻辑

需要根据used数组判断当前元素是否用过。

代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            result.add(path);
            return result;
        }
        used = new boolean[nums.length];
        backtrack(nums);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] nums) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            //去重判断
            if (used[i]) {
                continue;
            }
            //标记用过
            used[i] = true;
            path.addLast(nums[i]);
            backtrack(nums);
            //回溯
            used[i] = false;
            path.removeLast();
        }
    }
}

LeetCode47. 全排列 II

☕ 题目：47. 全排列 II (https://leetcode-cn.com/problems/permutations-ii/)

❓ 难度：中等

描述：

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
 [1,2,1],
 [2,1,1]]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 8
• -10 <= nums[i] <= 10

思路：

这道题在上一道题的基础上：给定一个可包含重复数字的序列 nums。

又到了我们喜闻乐见的去重时间，这个去重是单层的去重。

这次我们可以使用排序，相邻元素比较的方式去重。

先画抽象树：

全排列II

代码：

class Solution {
     List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            result.add(path);
            return result;
        }
        //排序无序集合
        Arrays.sort(nums);
        used = new boolean[nums.length];
        backtrack(nums);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] nums) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            //判断元素本层是否用过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            //判断元素本枝干是否用过
            if (used[i]) {
                continue;
            }
            //开始处理
            //标记同一个枝干用过
            used[i] = true;
            path.addLast(nums[i]);
            backtrack(nums);
            //回溯
            path.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

棋盘问题

LeetCode51. N 皇后

☕ 题目：51. N 皇后 (https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/)

❓ 难度：困难

描述：

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

N皇后

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9
• 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

思路：

首先看一下，每个组合又什么限制呢？

• 不能同行
• 不能同列
• 不能在同一条斜线

搜索皇后的位置，同样可以抽象成一棵树。

N皇后

矩阵的高就是树的高度，矩阵的宽就是每一个节点的宽度。

我们拿皇后的约束条件来剪枝，只要能搜索到树的叶子节点，那么就说明找到和合适的位置。

回溯三要素上吧！

• 参数

需要一个二维数组表示棋盘；

参数n记录棋盘大小；

用row记录遍历到棋盘的第几层；

• 终止条件

到了最底的一层，说明找到合适的皇后的位置；

• 单层逻辑

需要判断当前选择是否符合N皇后约束条件；

三个条件，行不用管，因为我们是一行一行往下的。

只需要判断左上角斜方向，列方向，右上角斜方向。

判断N皇后条件

代码：

class Solution {
     List<List<String>> result = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        //棋盘
        char[][] board = new char[n][n];
        //初始化棋盘
        for (char[] c : board) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backtrack(board, n, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(char[][] board, int n, int row) {
        //终止条件，到底了
        if (row == n) {
            result.add(arrayToList(board));
            return;
        }
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            //判断是否符合N皇后要求
            if (!isValid(board, n, row, col)) continue;
            //开始操作
            board[row][col] = 'Q';
            backtrack(board, n, row + 1);
            //回溯
            board[row][col] = '.';
        }
    }

    //判断当前位置是否满足N皇后要求
    public boolean isValid(char[][] board, int n, int row, int col) {
        //行不用判断，每层只有一个
        //col列判断
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            if (board[k][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        //检查主对角线（45度）
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        //检查副对角线（135度）
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j <= n - 1; i--, j++) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    //将棋盘数组转换为字符串列表
    public List<String> arrayToList(char[][] board) {
        List<String> path = new ArrayList<>();
        for (char[] c : board) {
            path.add(String.valueOf(c));
        }
        return path;
    }
}

LeetCode 37. 解数独

☕ 题目：37. 解数独(https://leetcode-cn.com/problems/sudoku-solver/)

❓ 难度：困难

描述：

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

• 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
• 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
• 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

img

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."], ["6",".",".","1","9","5",".",".","."], [".","9","8",".",".",".",".","6","."], ["8",".",".",".","6",".",".",".","3"], ["4",".",".","8",".","3",".",".","1"], ["7",".",".",".","2",".",".",".","6"], [".","6",".",".",".",".","2","8","."], [".",".",".","4","1","9",".",".","5"], [".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]

输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"], ["6","7","2","1","9","5","3","4","8"], ["1","9","8","3","4","2","5","6","7"], ["8","5","9","7","6","1","4","2","3"], ["4","2","6","8","5","3","7","9","1"], ["7","1","3","9","2","4","8","5","6"], ["9","6","1","5","3","7","2","8","4"], ["2","8","7","4","1","9","6","3","5"], ["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]

解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

img

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位数字或者 '.'
• 题目数据 保证 输入数独仅有一个解

思路：

这道题可以说是N皇后问题的plu版本了。

这道题矩阵的长度和宽度都比N皇后更长更宽。

而且判断重复也更难：

• 同行是否重复
• 同列是否重复
• 9宫格里是否重复

我们先大概画一棵抽象树：

数独抽象树

这个图画起来太麻烦了，差不多就那个意思，接下来我们三部曲走起[1]。

• 返回值与参数

因为解数独找到一个符合的条件就返回，所以返回值用boolean类型。

• 终止条件

可以不用终止条件，因为

• 单层逻辑

需要一个两个循环套着的递归，一个循环棋盘的行，一个循环棋盘的列，递归遍历这个位置放9个数字的可能。

代码：

class Solution {
    public void solveSudoku(char[][] board) {
        backtrack(board);
    }

    boolean backtrack(char[][] board) {
        //遍历行
        for (int row = 0; row < board.length; row++) {
            //遍历列
            for (int col = 0; col < board[0].length; col++) {
                if (board[row][col] != '.') continue;
                //尝试1-9
                for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {
                    //不满足，跳过
                    if (!isValid(board, row, col, k)) continue;
                    //满足要求操作
                    board[row][col] = k;
                    //找到一组，立即返回
                    if (backtrack(board)) {
                        return true;
                    }
                    //回溯，撤销填入
                    board[row][col] = '.';
                }
                //9个数试完了，不行，返回false
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    //判断是否符合数独要求
    boolean isValid(char[][] board, int row, int col, char val) {
        //判断行是否重复
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            if (board[row][i] == val) {
                return false;
            }
        }
        //判断列是否重复
        for (int j = 0; j < 9; j++) {
            if (board[j][col] == val) {
                return false;
            }
        }
        //判断小9宫格是否重复
        int startRow = (row / 3) * 3;
        int startCol = (col / 3) * 3;
        for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) {
            for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
                if (board[i][j] == val) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

总结

接着顺口溜总结：

总结

简单的事情重复做，重复的事情认真做，认真的事情有创造性地做。

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参考：

[1]. https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master

[2]. https://labuladong.gitbook.io

[3]. https://leetcode-cn.com/problems/restore-ip-addresses/solution/hui-su-suan-fa-hua-tu-fen-xi-jian-zhi-tiao-jian-by/

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文章来源：https://mp.weixin.qq.com/s/82DBJ-lz9aqx5B3H5HN5-g