RSA 算法大家肯定都听说过了,它是一种常见的非对称加密算法,常用来对一些在网络上传输的敏感信息进行加密。
但具体流程不知道大家清楚不?本文将概述 RSA 算法的流程,并用一个简单示例进行阐述,最后讲解了一种意想不到的“旁门左道”的破解方式。
具体算法流程如下:
p
和 q
, 计算 N = p*q
e
, 使得 e
与 (p-1)(q-1)
互质, 此时公钥为 (N, e)
, 告诉给对方d
, 使得 e*d-1
能够被(p-1)(q-1)
整除M
, 加密密文C
为: C
, 解密消息 M
:RSA算法依赖于欧拉定理,一个简化版本为大致为 a
和 p
互质,那么有:
即a
的 p-1
次方 对 p
取余为1
,(a
的 p-1
次方减去1
可以整除 p
)
欧拉定理的证明比较复杂,可以参考下文末的参考资料。
还是用个简单示例来说明:
N = pq
, 取俩素数 p=11, q = 3, N = p * q = 33
, 取 e
与 (p-1)(q-1) = 20
互质的数 e = 3
, 然后通过
确定私钥, 即取一个 d
使得 3*d -1
能 20 被整除, 假设取 d=7
或者d=67
。(3*7-1=20
当然能被20整除, 3*67-1=200
也能被20整除)
因此 public key 为 (N=33, e=3)
, private key 为 d=7
或者d=67
。
假设加密消息M=8
, 通过加密算法
,得到密文 C=8^3 % 33 = 17
。
再来看解密, 由
,得到明文 M = 17^7 % 33 = 8
或者 M=17^67 % 33=8
, 是不是很神奇? (这里^
表示多少次方,后文中的有的表示异或)
来, 安利一个计算器的工具,
bc
命令, 支持任意精度的计算, 其实 Mac简单的计算就可以通过前面介绍的 [Alfred] 可以方便得完成。
linux计算器
如果需要破解 RSA 的话,就是需要找到 p
和 q
, 使得 pq=33
, 如果知道了 p
和 q
就能通过公钥 N
和 e
反推出私钥 d
了。
当然上面所述的案例较简单,当 N 很大时,就特别困难了。大数分解在历史以来就一直是数学上的难题。
曾经有人花了五个月时间分解了这个数39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603
(159位数), RSA-155 (512 bits) [from wikipedia]。
这条路走不通, 就有人走了"旁门左道"了, Stanford 的几个研究者用了两个小时破解了 OpenSSL 0.9.7 的 1024-bit 的 RSA 私钥 (感兴趣的同学可以看他们的论文Remote Timing Attacks are Practical
),用到的方法就是后面提到的时序攻击(或译为"计时攻击")。
计时攻击是边信道攻击(或称"侧信道攻击",Side Channel Attack,简称 SCA) 的一种, 主要是一种利用不同的输入会有不同的执行时间这个特点进行的。
刚开始看到这个,我还是大为震惊的。凭直觉想,感觉要实际应用起来干扰项太多了,是不是可以直接忽略?
不过,看到上述论文有实际攻破成功的案例,以及各大编程语言纷纷补丁来看,这样做还是非常需要的,至少是“政治”正确的。
例如 JDK 1.6.0_17 中的Release Notes 中就提到了 MessageDigest.isEqual
中的 bug 的修复,如下图所示:
MessageDigest.isEqual计时攻击
关于这个话题,更多内容可以参考我之前写的这篇文章 —— [这 10 行比较字符串相等的代码给我整懵了,不信你也来看看]
参考资料:
以上内容若有不清楚或不正确的地方,还望大家指出,感谢。
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文章来源:https://mp.weixin.qq.com/s/nGdfv9luvqitboJ3-5eQUQ
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