Math.random() 二三事

这篇文章首发在 淘宝前端团队博客，现在转发到作者自己（也就是我本人）的博客上。

随机数

随机数是统计学领域的一个重要概念，对于游戏来说同样意义非凡，用好随机数，可以使你的游戏更真实、更人性、富有魅力。

举例子来说：一个打靶游戏，子弹每次都命中准心所示位置是不科学的，加上抖动误差，会使真实感更加强烈；再如，抽奖大转盘程序，每当转盘停止转动时，指针恰好都指向奖品图片的正中点，人们会觉得这个转盘很不自然，指向一个随机位置效果要好得多。

学过 JavaScript 的人都知道，应用随机数很简单，只要一个 Math.random() 就可以获得一个大于等于 0 小于 1 的浮点数。从一个集合中随机选择对象时，使用浮点数离散化后的结果作为选择集的索引：

var objects = [...];  
var randomIndex = Math.floor( objects.length * Math.random() );   
var object = objects[ randomIndex ];  

随机数的分布规律

前面代码中 Math.random() 和 randomIndex 的取值，在「概率分布」理论中属于「连续型分布」和「离散型分布」，分布用来描述随机变量的概率性质。其中，不论是连续型还是离散型，均匀分布都是最最常用的分布类型（没有之一）。在大转盘的例子中，决定转盘「停在哪个奖品上」和「停到该奖品的哪个位置」，都可以采用均匀分布。

均匀分布的特点是：所有基本事件的可能性相等，以下是 100 万次 Math.random() 实验的取值发生次数直方图：

可以看出，即便是伪随机数，它的分布仍然是均匀到无可挑剔，如果样本数足够大，上面直方图将呈现出一条直线。

再考虑一下打靶游戏的例子，假设对命中准心所示位置做了「均匀分布」的抖动误差，来看看 2000 次实验之后的样子：

如此均匀肯定不符合现实，人们会认为这杆枪的准心实在糟糕极了，而实际上，我们期望在大多数的情况下，子弹总是能命中准心所示位置，换句话说：正中准心的概率最高，随着误差距离的增大，概率减小。

这时我们需要优化一下随机函数，让吐出的值更多的接近于 0 而疏远于 1，一个简单的做法就是，引入第二个随机量与之相乘，实验 2000 次的结果如下：

更多个随机数，效果更甚（想想屋檐下鸟巢正下方地板上的鸟屎堆）：

以上的实验，可 移步这里 查看。

我们再来看看，这三种情况随机数的直方图（每图样本数 100 万次）：

关于不均匀的随机，历史上有多位名人总结了多种分布规律，离散型的诸如 二项分布、几何分布、超几何分布 和 泊松分布 等，连续型的有 指数分布、伽马分布 和 正态分布 等等，这些我也没有深入研究过，所以只能点点名，感兴趣的可自行琢磨。

产生符合指定概率模型的随机数

就像我们做动效一样，缓动算子可以令动画更加动感，应用合适的概率分布也能让页面/游戏更有表现力。与缓动动效不同的是，概率分布需要足够大的样本集才能体现出效果，在 codepen 上经常看到的各种粒子（烟花、火焰、炫光、烟雾、飘絮等）都离不开概率分布。

上面描述的场景似乎华而不实，而抽奖需求就有用得多了，在抽奖活动的所有奖品中，Macbook 怎可能和移动电源均匀分布？为每种奖品配置不同的概率是任何一款抽奖平台的基本功能。

假设某次抽奖活动，奖品概率设置如下：

• 登山包：0.01
• 旅行箱：0.03
• ​移动电源：0.06
• 不中奖（也看成是一种奖品）：0.9

即，期望 1000 次抽奖中，约 10 次命中登山包，约 30 次命中旅行箱，约 60 次命中移动电源，约 900 次不中奖。

基本思路：设计一个 updateRandom() 函数，返回一个大于等于 0 小于 1 的浮点数，将 0 到 1 之间等分成四段，每一段对应一个奖品，根据函数的返回值来决定命中哪个奖品。那么 updateRandom() 函数的返回值需要满足：

• 返回值期间 [0, 0.25)，概率 0.01
• 返回值期间 [0.25, 0.5)，概率 0.03
• 返回值期间 [0.5, 0.75)，概率 0.06
• 返回值期间 [0.75, 1)，概率 0.9

JavaScript 实现：

function updateRandom() {  
  var p = Math.random(), n = Math.random() / 4;  

  if( p < 0.01 )  
    return 0 + n;  

  if( p < 0.04 )  
    return 0.25 + n;  

  if( p < 0.1 )  
    return 0.5 + n;  

  if( p < 1 )  
    return 0.75 + n;  
}  

使用的时候，依然可以继续采取最熟悉的方式：

var objects = [ '登山包', '旅行箱', '移动电源', '不中奖' ];  
var randomIndex = Math.floor( objects.length * updateRandom() );   
var object = objects[ randomIndex ];  

100 万次 updateRandom() 实验的取值直方图如下：

概率的可配置化

上一段代码演示了如何生成符合指定概率模型的随机浮点数，它的缺限在于模型的数据硬编码在函数体内，维护起来有困难。

如果设计一个工厂函数，根据输入的权重数据来动态创建随机函数，会给实际应用中带来很大便利。

JavaScript 实现：

function randomInProbability( weights ){  
  if( arguments.length < 1 ){  
    weights = [].slice.call( arguments );  
  }  

  var total, current = 0, parts = [],  
    i = 0, l = weights.length;  

  total = weights.reduce ? weights.reduce( function( a, b ){  
    return a + b;  
  } ) : eval( weights.join( '+' ) );  

  for( ; i < l; i ++ ){  
    current += weights[ i ];  
    parts.push( 'if( p < ', current / total, ' ) return ', i / l, ' + n;' );  
  }  

  return Function( 'var p = Math.random(), n = Math.random() / ' + l + ';' + parts.join( '' ) );  
}  

这样一来，就可以很方便得到任意概率模型的随机函数了，还是上面的例子，创建一个 updateRandom() 函数很简单：

var updateRandom = randomInProbability( 0.01, 0.03, 0.06, .09 );  

玩在，我们来玩个花样：

var model = [];  

for( var i = 0; i < 100; i ++ ){  
  model.push( 2 + sin( PI * 2 * i / 50 ) );  
}  

var randomInSin = randomInProbability( model );  

来看看函数 randomInSin() 100 万次取值直方图长什么样：

一点小把戏，抛砖引玉，怎么样，是不是觉得离实现酷炫效果更进一步了？最后，进入这里 查看所有的实验。