本文通过五个例子，介绍蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）。
蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数 y = x2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x2）。这个比重就是所要求的积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
* 当前速度是 v 。
* 如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
* 如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
* 此外，司机还会以概率 p 随机减速， 将下一秒的速度降低到 v - 1 。在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率 p 为 0.3 。
上图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。
可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。
某产品由八个零件堆叠组成。也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。
已知该产品的厚度，必须控制在27mm以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？
取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。
证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。下面是你对市场的预测。
已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。请问接下来的交易，你的净利润会是多少？
取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。
模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元。
京东创始人刘强东和其妻子章泽天最近成为了互联网舆论关注的焦点。有关他们“移民美国”和在美国购买豪宅的传言在互联网上广泛传播。然而，京东官方通过微博发言人发布的消息澄清了这些传言，称这些言论纯属虚假信息和蓄意捏造。
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