四维的立方体或者球体看起来会是什么样子？
如果要你想象一头尾巴长满鳞片、鼻孔喷出火焰的巨龙，或者一架内设游泳池、机翼上有网球场的奢华飞机，你会在脑海中绘出一幅画面，试图描摹这件物体突然出现在你眼前的时候会是什么模样。
而这幅画的背景自然是正常的三维空间，你熟悉的所有物体，包括你自己在内，都存在于这样的空间里。如果这就是“想象”的确切含义，那么我们似乎不太可能想象出以正常三维空间为背景的四维物体，正如三维物体不可能被挤进平面一样。
但是，等等，从某种意义上说，我们的确能将三维物体压进平面，只要画一幅画就行。
不过在这种情况下，我们借助的当然不是液压机床或者其他什么物理力量，而是一种名为几何“投影”的绘画技巧。要将某件物体（比如说一匹马）压进平面，看看下图，你立即就会明白这两种方式有何区别。
将三维物体“压在”二维面上的两种方法，左边的方法是错的，右边的法子才对
以此类推，现在我们可以说，如果非要将四维物体“挤入”三维空间，那它难免会有些零件左右支棱，但我们的确可以讨论各种四维图形在我们这个三维空间中的投影。不过你必须记住，既然三维物体在二维面上的投影只有两个维度，那么四维超物体在普通三维空间内的投影也必然是三维的。
为了更清楚地理解这一点，首先我们不妨试想一下，生活在二维面上的影子生物该如何理解三维立方体的概念；我们能够轻而易举地想象这一幕，是因为我们生活在“更高级”的三维空间里，所以我们才能从上方，也就是从第三个方向，观察这个二维世界。
要将一个立方体“压进”二维面，唯一的办法就是按照下图所示的方法将它“投射”到这个面上。如果我们的二维朋友看到这个投影，以及旋转立方体得到的其他方向的投影，那么他们至少会对这个名为“三维立方体”的神秘物体形成一些粗浅的理解。
二维生物惊讶地望着三维立方体投射在他们生活的二维面上的影子
他们当然无法“跳出”自己所在的二维空间，像我们一样亲眼观察这个立方体的模样，但通过二维投影，他们至少会发现，这个立方体拥有8个顶点和12条边。现在看看下面那张图，你会发现自己的处境和那些在二维面上研究三维立方体的可怜的影子生物完全一样。
画面上这惊奇的一家子正在研究的那个复杂的奇怪结构实际上是四维超立方体在普通三维空间内的投影。（更确切地说，你在下面这张图中看到的是四维超立方体在三维空间内的投影在二维纸面上留下的投影。）
仔细研究这个图形，你很容易发现超立方体的一些特性，和上图中那些困惑的影子生物观察到的差不多：三维立方体在平面上的投影表现为两个嵌套正方形，它们的顶点两两相连；而超立方体在三维空间内的投影由两个嵌套立方体组成，顶点同样两两相连。
数一数你就知道，这个超立方体一共有16个顶点，32条边和24个面。看起来真够怪的，对吧？
来自第四维的客人！四维超立方体的直接投影
现在，我们再来看看四维球体是什么样的。要完成这个目标，我们最好换个更熟悉的例子，就是普通球体在二维面上的投影。假设有一个透明的地球仪，上面标出了所有的大洲和大洋，现在我们将它投影到一面白墙上（如下图）。
地球的平面投影
当然，在这��
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